8. Решите уравнение, используя метод замены переменного: а) \(x^4-11x^2+10=0\); б) \((x^2-5x)^2-5(x^2-5x)-6=0\); в) \((2x^2+x-1)(2x^2+x-4)+2=0\); г) \((x^2-2x)^2-7(x-1)^2-1=0\).

а) Сделаем замену \(t=x^2\). Тогда \(t^2-11t+10=0\), откуда \((t-1)(t-10)=0\), то есть \(t=1\) или \(t=10\).

Возвращаемся к переменной \(x\): \(x^2=1\) или \(x^2=10\). Следовательно, \(x=\pm1\) или \(x=\pm\sqrt{10}\).

Ответ: \(x=-\sqrt{10},-1,1,\sqrt{10}\).

б) Сделаем замену \(t=x^2-5x\). Получаем \(t^2-5t-6=0\), то есть \((t-6)(t+1)=0\). Значит, \(t=6\) или \(t=-1\).

При \(t=6\): \(x^2-5x=6\), поэтому \(x^2-5x-6=0\), откуда \((x-6)(x+1)=0\) и \(x=6\) или \(x=-1\).

При \(t=-1\): \(x^2-5x=-1\), поэтому \(x^2-5x+1=0\). По формуле корней \(x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}\).

Ответ: \(x=-1,6,\frac{5-\sqrt{21}}{2},\frac{5+\sqrt{21}}{2}\).

в) Сделаем замену \(t=2x^2+x\). Тогда \((t-1)(t-4)+2=0\), откуда \(t^2-5t+6=0\), то есть \((t-2)(t-3)=0\). Следовательно, \(t=2\) или \(t=3\).

При \(t=2\): \(2x^2+x-2=0\), поэтому \(x=\frac{-1\pm\sqrt{17}}{4}\).

При \(t=3\): \(2x^2+x-3=0=(2x+3)(x-1)\), поэтому \(x=-\frac{3}{2}\) или \(x=1\).

Ответ: \(x=\frac{-1-\sqrt{17}}{4},\frac{-1+\sqrt{17}}{4},-\frac{3}{2},1\).

г) Сделаем замену \(t=(x-1)^2\). Так как \(x^2-2x=(x-1)^2-1=t-1\), уравнение примет вид \((t-1)^2-7t-1=0\). После упрощения получаем \(t^2-9t=0\), то есть \(t(t-9)=0\).

Значит, \((x-1)^2=0\) или \((x-1)^2=9\). Отсюда \(x=1\) или \(x=1\pm3\), то есть \(x=-2,1,4\).

Ответ: \(x=-2,1,4\).