8. Рис. 384. Дано: ABCD — трапеция. BC : AD = 2 : 3, BK = 6, S_ABCD = 60. Найти: BC, AD.

Решение:

1. Площадь трапеции:

Формула площади трапеции:

\[ S = \frac{a+b}{2} h \]

где $$a$$ и $$b$$ — основания, $$h$$ — высота.

В данной задаче основаниями являются BC и AD, а высота BK = 6.

\[ S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} × BK \]

\[ 60 = \frac{BC + AD}{2} × 6 \]

\[ 60 = (BC + AD) × 3 \]

\[ BC + AD = \frac{60}{3} \]

\[ BC + AD = 20 \]

2. Соотношение оснований:

Дано, что $$BC : AD = 2 : 3$$. Это означает, что можно представить основания как:

$$BC = 2x$$

$$AD = 3x$$

где $$x$$ — некоторый коэффициент пропорциональности.

3. Подстановка и решение:

Подставим выражения для BC и AD в уравнение суммы оснований:

\[ 2x + 3x = 20 \]

\[ 5x = 20 \]

\[ x = \frac{20}{5} \]

\[ x = 4 \]

Теперь найдем длины оснований:

$$BC = 2x = 2 × 4 = 8$$

$$AD = 3x = 3 × 4 = 12$$

Ответ: BC = 8, AD = 12