8. Сколько существует натуральных чисел, в 23 раза больших своего наимень-шего собственного делителя? Делитель называется собственным, если он больше 1, но меньше самого числа.

Решение:

Пусть искомое натуральное число равно \( N \).

Наименьший собственный делитель числа \( N \) — это наименьшее число \( d \), такое что \( d > 1 \) и \( N \) делится на \( d \) без остатка.

По условию задачи, число \( N \) в 23 раза больше своего наименьшего собственного делителя \( d \). Это можно записать как:

Так как \( d \) — наименьший собственный делитель числа \( N \), и \( d > 1 \), то \( d \) должно быть простым числом. Если бы \( d \) было составным, то у него были бы свои делители, которые были бы также делителями \( N \), и \( d \) не был бы наименьшим собственным делителем.

Рассмотрим возможные значения \( d \):

• Если \( d = 2 \), то \( N = 23 \cdot 2 = 46 \). Наименьший собственный делитель числа 46 — это 2. Условие выполнено.
• Если \( d = 3 \), то \( N = 23 \cdot 3 = 69 \). Наименьший собственный делитель числа 69 — это 3. Условие выполнено.
• Если \( d = 5 \), то \( N = 23 \cdot 5 = 115 \). Наименьший собственный делитель числа 115 — это 5. Условие выполнено.
• ...
• Если \( d \) — любое простое число, то \( N = 23 \cdot d \). Наименьшим делителем \( N \), большим 1, будет либо \( d \) (если \( d \) не равно 23), либо 23 (если \( d = 23 \), то \( N = 23 \times 23 \), наименьший делитель - 23).

Поскольку 23 — простое число, то наименьшим собственным делителем числа \( N = 23 \times d \) будет \( d \), если \( d < 23 \), и 23, если \( d > 23 \).

Если \( d < 23 \) и \( d \) — простое число, то \( d \) будет наименьшим собственным делителем. Примеры: \( d = 2, N = 46 \); \( d = 3, N = 69 \); \( d = 5, N = 115 \) и так далее.

Если \( d = 23 \), то \( N = 23 \times 23 = 529 \). Наименьший собственный делитель 529 — это 23. Условие выполнено.

Если \( d > 23 \) и \( d \) — простое число, то наименьшим собственным делителем числа \( N = 23 \times d \) будет 23. Тогда \( N \) должно быть в 23 раза больше 23, то есть \( N = 23 \times 23 = 529 \). Но мы предположили, что \( d > 23 \), что приводит к противоречию.

Таким образом, наименьший собственный делитель \( d \) может быть любым простым числом, при условии, что \( d \) не больше 23.

Простые числа, которые меньше или равны 23: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Количество таких простых чисел равно 9.

Ответ: 9.