8. Сколько целых чисел расположено между $$2 \sqrt{13}$$ и $$5 \sqrt{3}$$?

Пошаговое решение:

1. Оценка первого числа ($$2 \sqrt{13}$$):
   Возведем число в квадрат: \( (2 \sqrt{13})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{13})^2 = 4 \cdot 13 = 52 \).
   Теперь найдем ближайшие квадраты целых чисел к 52:
   \( 7^2 = 49 \) и \( 8^2 = 64 \).
   Так как \( 49 < 52 < 64 \), то \( \sqrt{49} < \sqrt{52} < \sqrt{64} \), что означает \( 7 < 2 \sqrt{13} < 8 \).
2. Оценка второго числа ($$5 \sqrt{3}$$):
   Возведем число в квадрат: \( (5 \sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75 \).
   Найдем ближайшие квадраты целых чисел к 75:
   \( 8^2 = 64 \) и \( 9^2 = 81 \).
   Так как \( 64 < 75 < 81 \), то \( \sqrt{64} < \sqrt{75} < \sqrt{81} \), что означает \( 8 < 5 \sqrt{3} < 9 \).
3. Определение целых чисел:
   Мы имеем, что \( 7 < 2 \sqrt{13} < 8 \) и \( 8 < 5 \sqrt{3} < 9 \).
   Следовательно, нам нужно найти целые числа, расположенные между числом, которое больше 7 (но меньше 8), и числом, которое больше 8 (но меньше 9).
   Единственное целое число, которое находится между этими двумя значениями, это 8.

Ответ: 1