8. Сплошной кубик с ребром 10 см плавает на границе раздела воды и керосина, погрузившись в воду на 2 см (см. рисунок). Свободная поверхность керосина располагается выше, чем верхняя поверхность кубика. Определите плотность вещества, из которого изготовлен кубик. Ответ дайте в кг/м³

Решение:

Задача решается с помощью закона Архимеда. Плотность керосина можно найти, зная, что кубик плавает, то есть сила тяжести кубика равна выталкивающей силе.

1. Найдем объем погруженной части кубика в воду:
   Высота кубика = 10 см.
   Погружение в воду = 2 см.
   Объем погруженной части в воду = \( 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 200 \text{ см}^3 \).
2. Найдем объем части кубика, находящейся в керосине:
   Общая высота кубика = 10 см.
   Высота в воде = 2 см.
   Высота в керосине = \( 10 \text{ см} - 2 \text{ см} = 8 \text{ см} \>.
   Объем погруженной части в керосин = \( 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 800 \text{ см}^3 \>.
3. Запишем условие плавания кубика:
   Сила тяжести кубика равна сумме выталкивающих сил воды и керосина.
   \( m_{кубика} \times g = F_{A_{воды}} + F_{A_{керосина}} \)
   \( \rho_{кубика} \times V_{кубика} \times g = \rho_{воды} \times V_{погр. воды} \times g + \rho_{керосина} \times V_{погр. керосина} \times g \>.
   Сократим \( g \) из обеих частей уравнения:
4. Подставим известные значения:
   Плотность воды \( \rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3 \>.
   Плотность керосина \( \rho_{керосина} = 800 \text{ кг/м}^3 \>.
   Объем кубика \( V_{кубика} = \(10 \text{ см}\)^3 = 1000 \(\text{ см}\)^3 \>.
   Объем погруженный в воду \( V_{погр. воды} = 200 \(\text{ см}\)^3 \>.
   Объем погруженный в керосин \( V_{погр. керосина} = 800 \(\text{ см}\)^3 \>.
5. Рассчитаем плотность кубика:
   \( \(\rho\)_{кубика} \(\times\) 1000 \(\text{ см}\)^3 = 1000 \(\text{ кг/м}\)^3 \(\times\) 200 \(\text{ см}\)^3 + 800 \(\text{ кг/м}\)^3 \(\times\) 800 \(\text{ см}\)^3 \>.
   Переведем единицы в СИ: \( 1 \(\text{ см}\)^3 = 10^{-6} \(\text{ м}\)^3 \>.
   \( \(\rho\)_{кубика} \(\times\) 1000 \(\times\) 10^{-6} \(\text{ м}\)^3 = 1000 \(\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\) \(\times\) 200 \(\times\) 10^{-6} \(\text{ м}\)^3 + 800 \(\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\) \(\times\) 800 \(\times\) 10^{-6} \(\text{ м}\)^3 \>.
   \( \(\rho\)_{кубика} \(\times\) 10^{-3} \(\text{ м}\)^3 = 200 \(\times\) 10^{-3} \(\text{ кг}\) + 640 \(\times\) 10^{-3} \(\text{ кг}\) \>.
   \( \(\rho\)_{кубика} \(\times\) 10^{-3} \(\text{ м}\)^3 = 840 \(\times\) 10^{-3} \(\text{ кг}\) \>.
   \( \(\rho\)_{кубика} = \(\frac{840 \times 10^{-3} \text{ кг}}{10^{-3} \text{ м}^3}\) = 840 \(\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}\) \>.

Ответ: 840 кг/м³.