8. Стороны АС и ВС треугольника ABC равны. Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 69°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

• Так как CM — биссектриса внешнего угла BCD, то $$\angle BCM = \angle MCD = 69^{\circ}$$.
• Угол BCD — развернутый, то есть $$180^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle BCM = 180^{\circ} - 69^{\circ} = 111^{\circ}$$.
• Так как CM — биссектриса, то $$\angle BCM = \angle MCD$$. Это противоречит условию, что $$\angle MCD = 69^{\circ}$$.
• Предположим, что CM — биссектриса внешнего угла при вершине C. Внешний угол при вершине C равен $$2 \cdot \angle MCD = 2 \cdot 69^{\circ} = 138^{\circ}$$.
• Сумма углов треугольника ABC равна $$180^{\circ}$$.
• Угол ACB = $$180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}$$.
• Так как AC = BC, то треугольник ABC равнобедренный.
• Углы при основании равны: $$\angle BAC = \angle ABC = (180^{\circ} - 42^{\circ}) / 2 = 138^{\circ} / 2 = 69^{\circ}$$.

Ответ: 69