8) Стороны АС и ВС треугольника АВС равны. Луч СМ является биссектрисой внешнего угла BCD, угол MCD равен 62°. Найдите угол ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В данном треугольнике ABC стороны AC и BC равны, значит, треугольник ABC — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$ \angle BAC = \angle ABC $$.

Луч CM является биссектрисой внешнего угла BCD. Это означает, что он делит угол BCD на два равных угла: $$ \angle BCM = \angle MCD $$.

По условию, $$ \angle MCD = 62^{\circ} $$.

Следовательно, $$ \angle BCM = 62^{\circ} $$.

Угол BCD является внешним углом треугольника ABC при вершине C. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. То есть:

$$ \angle BCD = \angle BAC + \angle ABC $$.

Также, угол BCD является смежным с углом ACB, поэтому:

$$ \angle BCD + \angle ACB = 180^{\circ} $$.

Зная, что $$ \angle BCM = 62^{\circ} $$ и $$ \angle MCD = 62^{\circ} $$, мы можем найти весь внешний угол BCD:

$$ \angle BCD = \angle BCM + \angle MCD = 62^{\circ} + 62^{\circ} = 124^{\circ} $$.

Теперь используем свойство внешнего угла:

$$ \angle BAC + \angle ABC = \angle BCD $$

Так как $$ \angle BAC = \angle ABC $$, мы можем записать:

$$ 2 · \angle BAC = 124^{\circ} $$

Разделим обе части на 2:

$$ \angle BAC = \frac{124^{\circ}}{2} = 62^{\circ} $$

Ответ: 62