8 Тип 12 i Найдите наименьшее значение функции y = x³ – 147x + 19 на отрезке [0;8] . Ответ:

Решение:

Чтобы найти наименьшее значение функции \( y = x^3 - 147x + 19 \) на отрезке \( [0; 8] \), нужно найти значения функции в критических точках (где производная равна нулю) и на концах отрезка.

1. Найдем первую производную функции: \( y' = (x^3 - 147x + 19)' = 3x^2 - 147 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 147 = 0 \).
3. Решим уравнение: \( 3x^2 = 147 \) \( x^2 = 49 \) \( x = ±7 \).
4. Из найденных критических точек \( x = -7 \) и \( x = 7 \) только \( x = 7 \) попадает в отрезок \( [0; 8] \).
5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке, попадающей в отрезок:
   • При \( x = 0 \): \( y(0) = 0^3 - 147 · 0 + 19 = 19 \).
   • При \( x = 7 \): \( y(7) = 7^3 - 147 · 7 + 19 = 343 - 1029 + 19 = -667 \).
   • При \( x = 8 \): \( y(8) = 8^3 - 147 · 8 + 19 = 512 - 1176 + 19 = -645 \).
6. Сравним полученные значения: \( 19, -667, -645 \). Наименьшее значение равно \( -667 \).

Ответ: -667.