8 Тип 12 Найдите наименьшее значение функции y = x³/3 - 9x на отрезке [-3;3].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = \frac{3x^2}{3} - 9 = x^2 - 9 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( x^2 - 9 = 0 \).
3. Решим уравнение: \( x^2 = 9 \), следовательно \( x = \pm 3 \).
4. Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 3 \). Обе точки принадлежат отрезку [-3;3].
5. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
   • При \( x = -3 \): \( y = \frac{(-3)^3}{3} - 9(-3) = \frac{-27}{3} + 27 = -9 + 27 = 18 \).
   • При \( x = 3 \): \( y = \frac{3^3}{3} - 9(3) = \frac{27}{3} - 27 = 9 - 27 = -18 \).
6. Сравним полученные значения: 18 и -18. Наименьшее значение равно -18.

Ответ: -18