8. Тип 16 № 462106. Точка O является серединой стороны CD квадрата ABCD. Радиус окружности с центром в точке O, проходящей через вершину A, равен \(\frac{\sqrt{5}}{2}\). Найдите площадь квадрата ABCD.

Пусть сторона квадрата равна \(a\). Так как O — середина стороны CD, то \(OD=\frac{a}{2}\), а \(AD=a\).

Треугольник ADO прямоугольный, поэтому по теореме Пифагора:

\[AO^2=AD^2+OD^2=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{5a^2}{4}\]

По условию:

\[AO=\frac{\sqrt{5}}{2},\qquad AO^2=\frac{5}{4}\]

Следовательно,

\[\frac{5a^2}{4}=\frac{5}{4},\qquad a^2=1\]

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

\[S=a^2=1\]

Ответ: 1.