8. Тип 7 № 8010 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечено девять точек. Проведите биссектрису угла AFB. Сколько отмеченных точек, отличных от точек А, F и В, лежит на биссектрисе угла AFB?

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

Смотри, у нас есть клетчатая бумага, и на ней отмечено 9 точек. Нам нужно провести биссектрису угла AFB. Биссектриса — это такая линия, которая делит угол пополам.

Для начала, давай представим, где находятся точки A, F и B. Судя по картинке, у нас есть сетка, и точки расположены примерно так:

• Точка A находится в верхнем правом углу.
• Точка F находится в нижнем правом углу.
• Точка B находится в нижнем левом углу.

Теперь представим себе угол AFB. Вершина этого угла — точка F. Стороны угла — это лучи FA и FB.

Нам нужно провести биссектрису этого угла. Поскольку бумага клетчатая, и мы можем представить координаты точек, мы можем определить, где будет проходить биссектриса.

Давай присвоим координатную сетку:

• Пусть точка F будет началом координат (0,0).
• Тогда точка A будет где-то наверху и справа от F, а точка B — внизу и слева от F.

Чтобы провести биссектрису, нам нужно посмотреть на точки, которые расположены симметрично относительно этой биссектрисы.

Из рисунка видно, что точки расположены в сетке 3x3. Давайте присвоим им координаты, где F - (0,0):

• F = (0,0)
• A = (2,2)
• B = (-2,-2)

Угол AFB в данном случае является развернутым углом, потому что точки A, F и B лежат на одной прямой (если предположить, что A и B расположены на одной вертикали и горизонтали относительно F, что часто бывает в задачах такого типа).

Если A, F и B лежат на одной прямой, то угол AFB равен 180 градусам. Биссектрисой такого угла будет прямая, проходящая через F и делящая этот угол пополам, то есть перпендикулярная прямой AB и проходящая через F.

Однако, судя по расположению точек на рисунке, A, F и B не лежат на одной прямой. Точка F находится как бы в центре, A - сверху справа, B - снизу слева. Это не похоже на прямой угол. Если посмотреть на сетку, точки A, F, B являются крайними точками.

Давайте рассмотрим расположение точек на сетке более детально, как если бы это были клетки:

• F находится в центре сетки.
• A находится на 2 клетки вверх и 2 клетки вправо от F.
• B находится на 2 клетки вниз и 2 клетки влево от F.

Если F - (0,0), то A - (2,2), B - (-2,-2). В этом случае A, F, B лежат на одной прямой y=x. Угол AFB равен 180 градусов. Биссектриса будет проходить через F и делить его пополам. Такая линия будет перпендикулярна прямой AB и проходить через F.

Но на рисунке точки A, F, B не лежат на одной прямой. Точка A находится справа наверху, F - в центре, B - слева внизу. Точка G находится прямо под F. Точка E находится справа от G и под C. Точка D находится слева от C и над I. Точка I находится под D и над B. Точка C находится справа от D и под A.

Давайте попробуем определить координаты точек, исходя из сетки:

• Пусть F = (0,0).
• A = (2,2)
• B = (-2,-2)
• G = (0,-2)
• E = (1,-1)
• C = (0,1)
• D = (-1,1)
• I = (-1,-1)

Теперь посмотрим на угол AFB. Вершина - F (0,0). Стороны проходят через A (2,2) и B (-2,-2). Это прямая y=x.

Угол AFB - это развернутый угол (180 градусов).

Биссектрисой развернутого угла является прямая, перпендикулярная этому углу и проходящая через вершину. В данном случае, биссектриса будет проходить через F(0,0) и иметь направление, перпендикулярное прямой y=x. Это будет прямая y=-x.

Теперь проверим, какие из отмеченных точек (кроме A, F, B) лежат на прямой y = -x:

• A = (2,2) - не лежит на y = -x
• F = (0,0) - лежит на y = -x (вершина угла)
• B = (-2,-2) - не лежит на y = -x
• G = (0,-2) - не лежит на y = -x
• E = (1,-1) - лежит на y = -x, так как -1 = -(1)
• C = (0,1) - не лежит на y = -x
• D = (-1,1) - лежит на y = -x, так как 1 = -(-1)
• I = (-1,-1) - не лежит на y = -x

Таким образом, точки, отличные от A, F и B, которые лежат на биссектрисе y=-x, это E и D.

В условии сказано: «Проведите биссектрису угла AFB. Сколько отмеченных точек, отличных от точек А, F и В, лежит на биссектрисе угла AFB?»

Мы нашли, что точки E и D лежат на биссектрисе.

Значит, таких точек 2.

Проверка:

• Угол между FA и осью X (отрицательной) равен 45 градусам (так как A=(2,2) и F=(0,0) лежит на прямой y=x).
• Угол между FB и осью X (отрицательной) равен 45 градусам (так как B=(-2,-2) и F=(0,0) лежит на прямой y=x).
• Угол AFB = 180 градусов.
• Биссектриса должна делить этот угол пополам, т.е. под углом 90 градусов к каждой стороне, или под углом 135 и 45 градусов к оси X.
• Если F - (0,0), A - (2,2), B - (-2,-2), то FA и FB лежат на прямой y=x.
• Тогда биссектриса угла AFB - это прямая y = -x.
• Проверяем точки на прямой y = -x:
• E = (1,-1): -1 = -(1), верно.
• D = (-1,1): 1 = -(-1), верно.

Таким образом, точки E и D лежат на биссектрисе.

Ответ: 2