8 Тип 7 № 8026 На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 нарисован треугольник АВС. Найдите сумму углов АВС И АСВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Определим координаты вершин треугольника:
   Пусть вершина C находится в начале координат (0, 0). Тогда вершина A будет иметь координаты (1, 0), а вершина B — (2, 2).
2. Найдем длины сторон треугольника:
   BC = \( \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
   AC = \( \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1} = 1 \)
   AB = \( \sqrt{(2-1)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \)
3. Найдем углы ABC и ACB:
   В треугольнике ABC:
   cos(∠ACB) = \( \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 · AC · BC} = \frac{1^2 + (2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2}{2 · 1 · 2\sqrt{2}} = \frac{1 + 8 - 5}{4\sqrt{2}} = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)
   Отсюда, ∠ACB = 45°.
   
   cos(∠ABC) = \( \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 · AB · BC} = \frac{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{2})^2 - 1^2}{2 · \sqrt{5} · 2\sqrt{2}} = \frac{5 + 8 - 1}{4\sqrt{10}} = \frac{12}{4\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)
   ∠ABC = arccos(\( \frac{3}{\sqrt{10}} \)) ≈ 18.43°
4. Найдем сумму углов ABC и ACB:
   ∠ABC + ∠ACB ≈ 18.43° + 45° ≈ 63.43°

Ответ: 63.43