8. Точки A (2; 1; 3), C (2; 1; 5), D (0; 1; 1) — вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины B и длины сторон параллелограмма.

В параллелограмме диагонали AC и BD имеют общую середину, поэтому \(A+C=B+D\). Отсюда:

\(B=A+C-D=(2;1;3)+(2;1;5)-(0;1;1)=(4;1;7)\).

Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками:

\(AB=\sqrt{(4-2)^2+(1-1)^2+(7-3)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\).

\(BC=\sqrt{(2-4)^2+(1-1)^2+(5-7)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

В параллелограмме противоположные стороны равны: \(CD=AB\), \(AD=BC\).

Ответ: \(B=(4;1;7)\); \(AB=CD=2\sqrt{5}\), \(BC=AD=2\sqrt{2}\).