8. Упрастите выражение (x-3)(x-4)(x²+4x+16) + 9x (x-3)

Решение:

Сначала раскроем скобки. Заметим, что множители \( (x-4)(x^2+4x+16) \) образуют формулу разности кубов \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \), где \( a=x \) и \( b=4 \).

Таким образом, \( (x-4)(x^2+4x+16) = x^3 - 4^3 = x^3 - 64 \).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ (x-3)(x^3-64) + 9x(x-3) \]

Вынесем общий множитель \( (x-3) \) за скобки:

\[ (x-3)[(x^3-64) + 9x] \]

Упростим выражение в квадратных скобках:

\[ (x-3)[x^3 + 9x - 64] \]

Теперь раскроем скобки, умножив \( (x-3) \) на \( (x^3+9x-64) \):

\[ x(x^3+9x-64) - 3(x^3+9x-64) \]

\[ x^4 + 9x^2 - 64x - 3x^3 - 27x + 192 \]

Приведём подобные слагаемые и запишем в порядке убывания степеней:

\[ x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 64x - 27x + 192 \]

\[ x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 91x + 192 \]

Ответ: \( x^4 - 3x^3 + 9x^2 - 91x + 192 \).