8. Упростите: а) 2a/(a² − 9) + 3/(a − 3); б) 5/(m + n) − 4n/(m² − n²); в) x/(4 − 9x²) + 1/(3x + 2); г) 1/(2p + 4q) − q/(4q² − p²); д) 1/(a² + ab + b²) + b/(a³ − b³); е) (m² + n²)/(m³ + n³) − 1/(2(m + n)); ж) (x² − 2xy)/(x − 2y)² + 1/(2y − x); з) 2(p + q)/(p³ − q³) + 3/(q² − p²).

Question

Вопрос:

Фото задания

8. Упростите: а) 2a/(a² − 9) + 3/(a − 3); б) 5/(m + n) − 4n/(m² − n²); в) x/(4 − 9x²) + 1/(3x + 2); г) 1/(2p + 4q) − q/(4q² − p²); д) 1/(a² + ab + b²) + b/(a³ − b³); е) (m² + n²)/(m³ + n³) − 1/(2(m + n)); ж) (x² − 2xy)/(x − 2y)² + 1/(2y − x); з) 2(p + q)/(p³ − q³) + 3/(q² − p²).

Accepted Answer

Разложим знаменатели на множители и приведём дроби к общему знаменателю.

а) \(a^2-9=(a-3)(a+3)\). Тогда \(\frac{2a}{(a-3)(a+3)}+\frac{3(a+3)}{(a-3)(a+3)}=\frac{5a+9}{a^2-9}\).

б) \(m^2-n^2=(m-n)(m+n)\). Тогда \(\frac{5(m-n)-4n}{(m-n)(m+n)}=\frac{5m-9n}{m^2-n^2}\).

в) \(4-9x^2=(2-3x)(2+3x)=-(3x-2)(3x+2)\). Поэтому \(\frac{x}{4-9x^2}+\frac{1}{3x+2}=\frac{-x+(3x-2)}{(3x-2)(3x+2)}=\frac{2(x-1)}{9x^2-4}\).

г) \(2p+4q=2(p+2q)\), а \(4q^2-p^2=(2q-p)(2q+p)\). Общий знаменатель: \(2(p+2q)(2q-p)(2q+p)\). Числитель: \((2q-p)(2q+p)-2q(p+2q)=-p^2-2pq\). Следовательно, результат \(\frac{-p(p+2q)}{2(p+2q)(2q-p)(2q+p)}=-\frac{p}{2(2q-p)(2q+p)}\).

д) \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\). Тогда \(\frac{a-b}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}+\frac{b}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}=\frac{a}{a^3-b^3}\).

е) \(m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)\). Общий знаменатель — \(2(m+n)(m^2-mn+n^2)\). Числитель: \(2(m^2+n^2)-(m^2-mn+n^2)=m^2+mn+n^2\). Ответ: \(\frac{m^2+mn+n^2}{2(m^3+n^3)}\).

ж) \(2y-x=-(x-2y)\), поэтому \(\frac{1}{2y-x}=-\frac{1}{x-2y}\). Тогда \(\frac{x^2-2xy}{(x-2y)^2}-\frac{1}{x-2y}=\frac{x(x-2y)- (x-2y)}{(x-2y)^2}=\frac{(x-2y)(x-1)}{(x-2y)^2}=\frac{x-1}{x-2y}\).

з) \(p^3-q^3=(p-q)(p^2+pq+q^2)\), а \(q^2-p^2=-(p-q)(p+q)\). Приводим к общему знаменателю: \(\frac{2(p+q)^2-3(p^2+pq+q^2)}{(p-q)(p+q)(p^2+pq+q^2)}\). Числитель равен \(-p^2+pq-q^2=-(p^2-pq+q^2)\). Итак, результат: \(-\frac{p^2-pq+q^2}{p^3-q^3}\).