8. Упростите выражение: а) \(\cos^2\alpha-\cos^4\alpha+\sin^4\alpha\); б) \(\frac{1-2\cos^2\beta}{\cos\beta+\sin\beta}\); в) \((\sin^2\alpha+ g^2\alpha\sin^2\alpha)\ctg\alpha\); г) \(\frac{\sin^2 t-1}{\cos^4 t}+ g^2 t\).

а)

Используем равенство \(\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\):

\(\cos^2\alpha-\cos^4\alpha+\sin^4\alpha=\cos^2\alpha-\cos^4\alpha+(1-\cos^2\alpha)^2\)

\(=\cos^2\alpha-\cos^4\alpha+1-2\cos^2\alpha+\cos^4\alpha=1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha.\)

б)

\(1-2\cos^2\beta=\sin^2\beta-\cos^2\beta=(\sin\beta-\cos\beta)(\sin\beta+\cos\beta).\)

Тогда \(\frac{1-2\cos^2\beta}{\cos\beta+\sin\beta}=\sin\beta-\cos\beta.\)

в)

\(\sin^2\alpha+ g^2\alpha\sin^2\alpha=\sin^2\alpha(1+ g^2\alpha)=\sin^2\alpha\cdot\frac{1}{\cos^2\alpha}.\)

Следовательно, \(\sin^2\alpha\cdot\frac{1}{\cos^2\alpha}\cdot\ctg\alpha= g^2\alpha\cdot\ctg\alpha= g\alpha.\)

г)

Так как \(\sin^2t-1=-\cos^2t\), получаем:

\(\frac{\sin^2t-1}{\cos^4t}+ g^2t=-\frac{1}{\cos^2t}+\frac{\sin^2t}{\cos^2t}\)

\(=\frac{\sin^2t-1}{\cos^2t}=\frac{-\cos^2t}{\cos^2t}=-1.\)

Ответ: а) \(\sin^2\alpha\); б) \(\sin\beta-\cos\beta\); в) \( g\alpha\); г) \(-1\).