8. Упростите выражение: а) cos² α − cos⁴ α + sin⁴ α; б) (1 − 2 cos² β)/(cos β + sin β); в) (sin² α + tg² α sin² α) ctg α; г) (sin² t − 1)/cos⁴ t + tg² t.

а) Используем формулу sin² α + cos² α = 1:

cos² α − cos⁴ α + sin⁴ α = cos² α + (sin⁴ α − cos⁴ α) = cos² α + (sin² α − cos² α)(sin² α + cos² α) = cos² α + sin² α − cos² α = sin² α.

б) 1 − 2 cos² β = sin² β − cos² β = (sin β − cos β)(sin β + cos β).

Тогда \(\dfrac{1-2\cos^2\beta}{\cos\beta+\sin\beta}=\sin\beta-\cos\beta\).

в) \(1+ g^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\), поэтому

\((\sin^2\alpha+ g^2\alpha\sin^2\alpha)\ctg\alpha=\sin^2\alpha(1+ g^2\alpha)\ctg\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}\ctg\alpha= g^2\alpha\ctg\alpha= g\alpha\).

г) \(\sin^2 t-1=-\cos^2 t\), поэтому

\(\dfrac{\sin^2t-1}{\cos^4t}+ g^2t=-\dfrac{1}{\cos^2t}+ g^2t=-\left(1+ g^2t\right)+ g^2t=-1\).

Ответ: а) sin² α; б) sin β − cos β; в) tg α; г) −1.