8. Упростите выражение \(\frac{a-b}{b} \cdot \left(\frac{b}{b-a} + \frac{b}{a}\right)\)

Решение:

Упростим выражение шаг за шагом:

1. Приведём дробь \(\frac{b}{b-a} + \frac{b}{a}\) к общему знаменателю \(a(b-a)\):
   \(\frac{b}{b-a} + \frac{b}{a} = \frac{b \cdot a}{(b-a) \cdot a} + \frac{b \cdot (b-a)}{a \cdot (b-a)} = \frac{ab + b^2 - ab}{a(b-a)} = \frac{b^2}{a(b-a)}\)
2. Теперь умножим полученное выражение на \(\frac{a-b}{b}\):
   \(\frac{a-b}{b} \cdot \frac{b^2}{a(b-a)}\)
3. Заметим, что \(a-b = -(b-a)\). Подставим это: \(\frac{-(b-a)}{b} \cdot \frac{b^2}{a(b-a)}\)
4. Сократим \((b-a)\) и \(b\): \(\frac{-1}{1} \cdot \frac{b}{a} = -\frac{b}{a}\)

Ответ: \(-\frac{b}{a}\)