8. Упростите выражение. Введите ответ в предложенное ниже поле без пробелов. Переменные вводите с латинской раскладки. $$\frac{ab}{a+b} \cdot (\frac{a}{b} - \frac{b}{a}) = $$

Решение:

1. Приведем выражение в скобках к общему знаменателю: \[ \frac{a}{b} - \frac{b}{a} = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} - \frac{b \cdot b}{a \cdot b} = \frac{a^2 - b^2}{ab} \]
2. Теперь умножим полученное выражение на дробь перед скобками: \[ \frac{ab}{a+b} \cdot \frac{a^2 - b^2}{ab} \]
3. Сократим \( ab \) в числителе и знаменателе: \[ \frac{1}{a+b} \cdot (a^2 - b^2) \]
4. Воспользуемся формулой разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \): \[ \frac{(a-b)(a+b)}{a+b} \]
5. Сократим \( a+b \) в числителе и знаменателе: \[ a-b \]

Ответ: a-b