8. Упростите выражение cos a - cos 2a - cos 4a + cos 5a sin a - sin 2a - sin 4a + sin 5a и найдите его значение при а = π/18.

Решение:

Давай упростим это тригонометрическое выражение шаг за шагом. Будем работать с числителем и знаменателем по отдельности.

Числитель:

cos α - cos 2α - cos 4α + cos 5α

1. Сгруппируем члены: (cos 5α + cos α) - (cos 4α + cos 2α)
2. Применим формулу суммы косинусов: cos x + cos y = 2 cos((x+y)/2) cos((x-y)/2)
3. (cos 5α + cos α) = 2 cos((5α+α)/2) cos((5α-α)/2) = 2 cos(3α) cos(2α)
4. (cos 4α + cos 2α) = 2 cos((4α+2α)/2) cos((4α-2α)/2) = 2 cos(3α) cos(α)
5. Подставим обратно: 2 cos(3α) cos(2α) - 2 cos(3α) cos(α)
6. Вынесем общий множитель 2 cos(3α): 2 cos(3α) (cos(2α) - cos(α))
7. Применим формулу разности косинусов: cos x - cos y = -2 sin((x+y)/2) sin((x-y)/2)
8. (cos(2α) - cos(α)) = -2 sin((2α+α)/2) sin((2α-α)/2) = -2 sin(3α/2) sin(α/2)
9. Итого числитель: 2 cos(3α) * (-2 sin(3α/2) sin(α/2)) = -4 cos(3α) sin(3α/2) sin(α/2)

Знаменатель:

sin α - sin 2α - sin 4α + sin 5α

1. Сгруппируем члены: (sin 5α + sin α) - (sin 4α + sin 2α)
2. Применим формулу суммы синусов: sin x + sin y = 2 sin((x+y)/2) cos((x-y)/2)
3. (sin 5α + sin α) = 2 sin((5α+α)/2) cos((5α-α)/2) = 2 sin(3α) cos(2α)
4. (sin 4α + sin 2α) = 2 sin((4α+2α)/2) cos((4α-2α)/2) = 2 sin(3α) cos(α)
5. Подставим обратно: 2 sin(3α) cos(2α) - 2 sin(3α) cos(α)
6. Вынесем общий множитель 2 sin(3α): 2 sin(3α) (cos(2α) - cos(α))
7. Мы уже знаем из числителя, что (cos(2α) - cos(α)) = -2 sin(3α/2) sin(α/2)
8. Итого знаменатель: 2 sin(3α) * (-2 sin(3α/2) sin(α/2)) = -4 sin(3α) sin(3α/2) sin(α/2)

Упрощение дроби:

Теперь поделим числитель на знаменатель:

$$ \frac{-4 \text{ cos}(3\text{α}) \text{ sin}(3\text{α}/2) \text{ sin}(\text{α}/2)}{-4 \text{ sin}(3\text{α}) \text{ sin}(3\text{α}/2) \text{ sin}(\text{α}/2)} $$

Сокращаем общие множители -4, sin(3α/2), sin(α/2):

$$ \frac{\text{cos}(3\text{α})}{\text{sin}(3\text{α})} = \text{ctg}(3\text{α}) $$

Нахождение значения:

Теперь подставим значение α = π/18:

$$ \text{ctg}(3 \times \frac{\text{π}}{18}) = \text{ctg}(\frac{\text{π}}{6}) $$

Значение ctg(π/6) равно $$ \frac{\text{cos}(\text{π}/6)}{\text{sin}(\text{π}/6)} = \frac{\text{√3}/2}{1/2} = \text{√3} $$

Ответ: √3