8. В 100-этажном доме установлен лифт с двумя кнопками. Если нажать на первую кнопку, мы поднимемся на 7 этажей вверх, если нажать на вторую - спустимся на 9 этажей вниз. Как попасть с 1-го этажа на 75-й?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Обозначим количество нажатий на кнопку "вверх" (подъем на 7 этажей) как "x", а количество нажатий на кнопку "вниз" (спуск на 9 этажей) как "y".

Начальный этаж: 1.

Конечный этаж: 75.

Формула для расчета этажа: 1 + 7x - 9y = 75

Упростим уравнение: 7x - 9y = 74

Теперь будем подбирать целочисленные значения для x и y, учитывая, что они должны быть неотрицательными (нельзя нажать кнопку отрицательное количество раз).

1. Пробуем разные значения x:
   • Если x = 1: 7(1) - 9y = 74 → 7 - 9y = 74 → -9y = 67 (y не целое)
   • Если x = 2: 7(2) - 9y = 74 → 14 - 9y = 74 → -9y = 60 (y не целое)
   • Если x = 3: 7(3) - 9y = 74 → 21 - 9y = 74 → -9y = 53 (y не целое)
   • Если x = 4: 7(4) - 9y = 74 → 28 - 9y = 74 → -9y = 46 (y не целое)
   • Если x = 5: 7(5) - 9y = 74 → 35 - 9y = 74 → -9y = 39 (y не целое)
   • Если x = 6: 7(6) - 9y = 74 → 42 - 9y = 74 → -9y = 32 (y не целое)
   • Если x = 7: 7(7) - 9y = 74 → 49 - 9y = 74 → -9y = 25 (y не целое)
   • Если x = 8: 7(8) - 9y = 74 → 56 - 9y = 74 → -9y = 18 → y = -2 (не подходит, т.к. y должно быть >= 0)
   • Если x = 9: 7(9) - 9y = 74 → 63 - 9y = 74 → -9y = 11 (y не целое)
   • Если x = 10: 7(10) - 9y = 74 → 70 - 9y = 74 → -9y = 4 (y не целое)
   • Если x = 11: 7(11) - 9y = 74 → 77 - 9y = 74 → -9y = -3 → 9y = 3 (y не целое)
   • Если x = 12: 7(12) - 9y = 74 → 84 - 9y = 74 → -9y = -10 → 9y = 10 (y не целое)
   • Если x = 13: 7(13) - 9y = 74 → 91 - 9y = 74 → -9y = -17 → 9y = 17 (y не целое)
   • Если x = 14: 7(14) - 9y = 74 → 98 - 9y = 74 → -9y = -24 → 9y = 24 (y не целое)
   • Если x = 15: 7(15) - 9y = 74 → 105 - 9y = 74 → -9y = -31 → 9y = 31 (y не целое)
   • Если x = 16: 7(16) - 9y = 74 → 112 - 9y = 74 → -9y = -38 → 9y = 38 (y не целое)
   • Если x = 17: 7(17) - 9y = 74 → 119 - 9y = 74 → -9y = -45 → 9y = 45 → y = 5.
2. Проверка: Подставляем x=17 и y=5 в исходное уравнение: 1 + 7(17) - 9(5) = 1 + 119 - 45 = 120 - 45 = 75.

Таким образом, чтобы попасть с 1-го этажа на 75-й, нужно нажать кнопку "вверх" 17 раз и кнопку "вниз" 5 раз.

Ответ: Нажать кнопку "вверх" 17 раз и кнопку "вниз" 5 раз.