8. В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя не глядя переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

Задача про монеты

Давай разберемся, как найти эту вероятность. Всего у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Он переложил 3 монеты в другой карман.

1. Определим общее количество монет:

• У Пети всего 2 + 4 = 6 монет.

2. Посчитаем, сколькими способами Петя мог выбрать 3 монеты из 6:

• Это задача на сочетания, потому что порядок, в котором он берет монеты, не важен.
• Общее число способов выбрать 3 монеты из 6 равно: C(6, 3) = \( \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 \) способов.

3. Определим, в каких случаях 5-рублевые монеты окажутся в разных карманах:

• Это значит, что в первом кармане (где остались монеты) будет одна 5-рублевая монета, а во втором (куда переложили 3 монеты) — тоже одна 5-рублевая монета.
• Сценарий 1: Одна 5-рублевая монета осталась в первом кармане, а одна 10-рублевая и одна 5-рублевая монета переложились во второй.
• Чтобы одна 5-рублевая монета осталась, нужно выбрать 1 монету из 2 пятирублевых (C(2,1)=2 способа) и 2 монеты из 4 десятирублевых (C(4,2)=6 способов).
• Количество способов в этом сценарии: 2 * 6 = 12 способов.
• Сценарий 2: Обе 5-рублевые монеты оказались во втором кармане.
• Чтобы обе 5-рублевые монеты переложились, нужно выбрать 2 монеты из 2 пятирублевых (C(2,2)=1 способ) и 1 монету из 4 десятирублевых (C(4,1)=4 способа).
• Количество способов в этом сценарии: 1 * 4 = 4 способа.

4. Посчитаем благоприятные исходы:

• Благоприятный исход — это когда 5-рублевые монеты лежат в РАЗНЫХ карманах.
• Это значит, что в первом кармане осталась одна 5-рублевая монета, а другая 5-рублевая монета оказалась во втором кармане.
• Из общего числа монет (2 по 5 руб. и 4 по 10 руб.) Петя переложил 3 монеты.
• Событие «пятирублевые монеты лежат в разных карманах» означает, что одна 5-рублевая монета осталась в исходном кармане, а вторая 5-рублевая монета оказалась среди 3 переложенных.
• Это возможно, если из 3 переложенных монет:
• (1) одна монета — 5 рублей, и две монеты — 10 рублей.
• Посчитаем количество способов такого выбора:
• Выбрать 1 монету из 2 пятирублевых: C(2, 1) = 2 способа.
• Выбрать 2 монеты из 4 десятирублевых: C(4, 2) = \( \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \) способов.
• Общее количество способов выбрать 1 монету по 5 рублей и 2 монеты по 10 рублей: 2 * 6 = 12 способов.

5. Найдем вероятность:

• Вероятность = (Количество благоприятных исходов) / (Общее количество исходов)
• Вероятность = 12 / 20
• Сокращаем дробь: 12/20 = 3/5.

Ответ: Вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах, равна 3/5.