8. В остроугольном треугольнике ABC H — точка пересечения высот. Радиус окружности, описанной около треугольника ABH, равен 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BCH.

Так как AH ⟂ BC и BH ⟂ AC, угол между AH и BH равен углу между BC и AC. Поэтому ∠AHB = ∠C.

По теореме синусов в треугольнике ABH: AB = 2 · 4 · sin ∠AHB = 8 sin C.

В треугольнике BCH угол BHC также равен углу между высотами BH и CH. Поскольку CH ⟂ AB и BH ⟂ AC, ∠BHC = ∠A. При этом BC = 2R_BCH · sin ∠BHC.

Из AB = 8 sin C и закона синусов в ABC следует AB / sin C = BC / sin A, откуда BC = 8 sin A. Значит, 2R_BCH sin A = 8 sin A, поэтому R_BCH = 4.

Ответ: 4.