8. В прямоугольнике угол между диагоналями равен 60°, меньшая сторона равна 31 см. Чему равна диагональ прямоугольника?

Обозначим меньшую сторону через \(b=31\) см, большую — через \(a\), а диагональ — через \(d\).

Диагонали прямоугольника симметричны относительно его большей стороны, поэтому угол между ними равен удвоенному углу между диагональю и большей стороной. Этот угол равен \(60°:2=30°\).

В прямоугольном треугольнике отношение меньшей стороны к большей равно тангенсу угла \(30°\): \(\frac{b}{a}=\tan 30°=\frac{1}{\sqrt{3}}\). Следовательно, \(a=31\sqrt{3}\) см.

По теореме Пифагора: \(d=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{(31\sqrt{3})^2+31^2}=\sqrt{3844}=62\) см.

Ответ: 62 см.