8. В прямоугольную трапецию вписана окружность. Большая боковая сторона равняется 15 см, а разница оснований 12 см. Найдите основания трапеции.

Решение:

• В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, меньшая боковая сторона равна высоте трапеции, и эта высота равна диаметру вписанной окружности.
• Большая боковая сторона является касательной к окружности.
• Пусть основания трапеции равны a и b, а большая боковая сторона c.
• По условию, c = 15 см.
• Пусть a - большее основание, b - меньшее. Разница оснований: a - b = 12 см.
• Так как в трапецию вписана окружность, то сумма противоположных сторон равна: a + b = c + h, где h - высота трапеции (меньшая боковая сторона).
• В прямоугольной трапеции большая боковая сторона является гипотенузой прямоугольного треугольника, образованного высотой, разницей оснований и большей боковой стороной.
• По теореме Пифагора: h² + (a - b)² = c²
• Подставим известные значения: h² + 12² = 15²
• h² + 144 = 225
• h² = 225 - 144
• h² = 81
• h = 9 см (меньшая боковая сторона)
• Теперь используем свойство вписанной окружности: a + b = c + h
• a + b = 15 + 9
• a + b = 24 см
• У нас есть система уравнений:
  • a - b = 12
  • a + b = 24
• Сложим уравнения: (a - b) + (a + b) = 12 + 24
• 2a = 36
• a = 18 см (большее основание)
• Вычтем первое уравнение из второго: (a + b) - (a - b) = 24 - 12
• 2b = 12
• b = 6 см (меньшее основание)

Ответ: Основания трапеции равны 18 см и 6 см.