8. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена биссектриса BD. Найдите углы треугольника АВС, если угол ABD = 35°.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \( △ ABC \) с основанием \( AC \) биссектриса \( BD \) является также высотой и медианой. Это означает, что \( BD ⊥ AC \) и \( AD = DC \).

Так как \( BD \) — биссектриса, она делит угол \( ∠ ABC \) пополам. По условию, \( ∠ ABD = 35^\circ \).

Следовательно, \( ∠ ABC = 2 · ∠ ABD = 2 · 35^\circ = 70^\circ \).

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \( ∠ BAC = ∠ BCA \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \). В \( △ ABC \):

\( ∠ BAC + ∠ ABC + ∠ BCA = 180^\circ \)

\( ∠ BAC + 70^\circ + ∠ BCA = 180^\circ \)

Так как \( ∠ BAC = ∠ BCA \), обозначим их как \( ∠ A \):

\( 2∠ A + 70^\circ = 180^\circ \)

\( 2∠ A = 180^\circ - 70^\circ \)

\( 2∠ A = 110^\circ \)

\( ∠ A = \frac{110^\circ}{2} = 55^\circ \)

Таким образом, \( ∠ BAC = 55^\circ \) и \( ∠ BCA = 55^\circ \).

Ответ: ∠ A = 55°, ∠ B = 70°, ∠ C = 55°.