8. В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Решение:

Нам дана равнобедренная трапеция. Из рисунка видно, что:

• Высота трапеции \( h = 6 \).
• Меньшее основание \( a = 4 \).
• Угол при нижнем основании \( \alpha = 45^{\circ} \).

Чтобы найти большее основание, нам нужно определить длину отрезка, который образуется при опускании высоты из вершин меньшего основания на большее основание.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и частью большего основания. В этом треугольнике высота \( h = 6 \) является катетом, противолежащим углу \( 45^{\circ} \). Отрезок большего основания, прилежащий к этому углу, является вторым катетом.

Так как угол равен \( 45^{\circ} \), то треугольник является равнобедренным прямоугольным. Следовательно, оба катета равны:

\( x = h = 6 \)

В равнобедренной трапеции отрезки, отсекаемые высотами от большего основания, равны. То есть, если опустить высоту из другой вершины меньшего основания, мы получим такой же отрезок \( x = 6 \) с другой стороны.

Большее основание \( b \) состоит из трех частей:

\( b = x + a + x \)

Подставим известные значения:

\( b = 6 + 4 + 6 = 16 \)

Ответ: 16.