8. В трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, ∠BCD = 90°, AD = 30, ∠ABC = 135°, ∠CDB = 45°. Найти BC.

Так как ∠BCD = 90° и ∠CDB = 45°, треугольник BCD — прямоугольный равнобедренный. Следовательно, ∠CBD = 45° и BC = BD.

Диагональ BD делит угол ABC, поэтому ∠ABD = 135° − 45° = 90°. Из параллельности AD и BC следует, что внутренние односторонние углы при стороне AB в сумме равны 180°: ∠DAB = 180° − 135° = 45°. Тогда в треугольнике ABD ∠ADB = 45°, и AD = 30 — гипотенуза.

По свойству прямоугольного равнобедренного треугольника BD = 30/√2 = 15√2. В треугольнике BCD равные катеты равны, поэтому BC = BD = 15√2.

Ответ: BC = 15√2.