8. В треугольник ABC с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон AB, BC и СА в точках D, Е и F соответственно. Известно, что ОС =2√2. Найдите: а) радиус окружности; б) углы EOF и EDF.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90°).
• Вписанная окружность с центром O.
• Точки касания: D на AB, E на BC, F на AC.
• OC = $$2×√{2}$$.

Найти:

• а) Радиус окружности (r)
• б) ∠EOF, ∠EDF

Решение:

1. а) Находим радиус окружности (r):

   Рассмотрим четырехугольник CE OF. Углы ∠C, ∠CEO, ∠CFO равны 90° (по условию ∠C=90°, а радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным).

   Так как OE и OF — радиусы, то OE = OF = r. Следовательно, четырехугольник CEOF является квадратом.

   Диагональ квадрата OC связывает центр окружности с вершиной прямого угла треугольника. Диагональ квадрата можно найти по формуле $$d = a×√{2}$$, где $$a$$ — сторона квадрата.

   В нашем случае $$d = OC = 2×√{2}$$, а сторона квадрата $$a = r$$.

   \[ 2×√{2} = r×√{2} \]

   Разделив обе части на $$×√{2}$$, получаем:

   \[ r = 2 \] см.

2. б) Находим углы EOF и EDF:

   Угол ∠EOF:

   В квадрате CEOF все углы равны 90°. Поэтому ∠EOF = 90°.

   Угол ∠EDF:

   Угол ∠EDF — это вписанный угол, опирающийся на дугу EF.

   Центральный угол, опирающийся на ту же дугу EF, — это ∠EOF.

   Мы знаем, что ∠EOF = 90°.

   Связь между вписанным и центральным углом, опирающимися на одну дугу:

   \[ \text{Вписанный угол} = \frac{1}{2} \times \text{Центральный угол} \]

   \[ ∠ EDF = \frac{1}{2} \times ∠ EOF \]

   \[ ∠ EDF = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ \]

Ответ:

• а) Радиус окружности = 2 см.
• б) ∠EOF = 90°, ∠EDF = 45°.