8. В треугольнике ABC известно, что AB = 8, AC = 4√2, ∠A = 135°. Найдите угол B.

По теореме косинусов найдём сторону BC:

\(BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A\).

\(BC^2=8^2+(4\sqrt2)^2-2\cdot8\cdot4\sqrt2\cdot\cos135^\circ=64+32+64=160\), поэтому \(BC=4\sqrt{10}\).

По теореме синусов:

\(\dfrac{\sin B}{AC}=\dfrac{\sin A}{BC}\), откуда \(\sin B=\dfrac{4\sqrt2\cdot(\sqrt2/2)}{4\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\).

Так как \(A=135^\circ\), сумма углов \(B+C=45^\circ\), следовательно, угол \(B\) острый. Поэтому \(B=\arcsin(1/\sqrt{10})\approx18.4^\circ\).

Ответ: \(\angle B\approx18.4^\circ\).