8. В треугольнике ABC проведена медиана AF. Точка D — середина отрезка AF, E — точка пересечения прямой CD и стороны AB. Известно, что BD = BF = CF. Докажите, что AE = DE.

Введём координаты: пусть A = (0; 0), B = (1; 0), C = (x; y). Тогда F = ((1 + x)/2; y/2), а поскольку D — середина AF, D = ((1 + x)/4; y/4).

Из равенства BD = BF получаем, приравнивая квадраты расстояний:

\((x-3)^2+y^2=4((x-1)^2+y^2)\), откуда \(x^2+y^2=(2x+5)/3\).

Прямая CD пересекает AB в точке E. Подстановка координат C и D в уравнение прямой даёт \(E=((1+2x)/3;0)\). Поэтому \(AE^2=(1+2x)^2/9\), а \(DE^2=((1+5x)^2+9y^2)/144\).

Используя полученное равенство \(x^2+y^2=(2x+5)/3\), из условия \(AE^2=DE^2\) следует \(x(x+1)=0\). При невырожденном треугольнике случай \(x=-1\) невозможен: тогда из равенства для \(x^2+y^2\) выходит \(y=0\). Следовательно, \(x=0\), и тогда \(AE^2=DE^2\), значит, \(AE=DE\).

Ответ: AE = DE.