8. (*)В треугольнике АВС отмечены середины М и № сторон ВС и АС соответственно. Площадь треугольника CNM равна 2. Найдите площадь четырёхугольника АВМИ. II Треугольник прямоугольный.

Анализ задачи:

• Нам дан треугольник ABC.
• Точки M и N являются серединами сторон BC и AC соответственно.
• Площадь треугольника CNM равна 2.
• Требуется найти площадь четырехугольника ABMN.
• Важное условие: треугольник ABC прямоугольный.

Решение:

1. Связь между площадями треугольников: Так как N — середина AC, а M — середина BC, то отрезок MN является средней линией треугольника ABC. Средняя линия параллельна основанию AC и равна его половине.
2. Сходство треугольников: Треугольник CNM подобен треугольнику CAB. Коэффициент подобия равен 1/2 (поскольку CN = 1/2 CA и CM = 1/2 CB).
3. Соотношение площадей подобных треугольников: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
4. Расчет площади ABC: Площадь треугольника ABC = Площадь треугольника CNM * (коэффициент подобия)^-2 = 2 * (1/2)^-2 = 2 * 4 = 8.
5. Расчет площади четырехугольника: Площадь четырехугольника ABMN = Площадь треугольника ABC - Площадь треугольника CNM = 8 - 2 = 6.

Ответ: 6