8. В треугольнике MXS проведены медиана XR и высота XN. Известно, что MS = 20 и XS = XR. Найдите MN.

Так как XR — медиана, точка R является серединой отрезка MS:

\(MR = RS = \frac{MS}{2} = \frac{20}{2} = 10\).

Так как \(XN \perp MS\), треугольники \(XNR\) и \(XNS\) — прямоугольные.

По условию \(XR = XS\). Следовательно, в прямоугольных треугольниках \(XNR\) и \(XNS\) равны гипотенузы и общий катет \(XN\), поэтому они равны. Значит, \(NR = NS\).

Точка \(R\) находится между точками \(M\) и \(S\), поэтому:

\(NS = \frac{MS - MR}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5\).

Тогда

\(MN = MR + RN = 10 + 5 = 15\).

Ответ: 15.