8*. Вершины треугольника ABC имеют координаты A(8; −3), B(5; 1), C(12; 0). Докажите, что угол B равен углу C. Найдите площадь треугольника.

Найдём координаты векторов, выходящих из вершин:

\(\overrightarrow{BA}=(8-5;-3-1)=(3;-4)\), \(\overrightarrow{BC}=(12-5;0-1)=(7;-1)\).

\(\overrightarrow{CA}=(8-12;-3-0)=(-4;-3)\), \(\overrightarrow{CB}=(5-12;1-0)=(-7;1)\).

Скалярные произведения:

\[\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=3\cdot7+(-4)\cdot(-1)=25,\]

\[\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=(-4)\cdot(-7)+(-3)\cdot1=25.\]

Длины соответствующих сторон:

\[|BA|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5,\quad |CA|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=5,\]

\[|BC|=|CB|=\sqrt{7^2+(-1)^2}=\sqrt{50}.\]

Следовательно, косинусы углов B и C равны:

\[\cos B=\frac{25}{5\sqrt{50}}=\cos C.\]

Значит, \(\angle B=\angle C\).

Площадь треугольника найдём по координатам:

\[S=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}-3&4\\4&3\end{vmatrix}\right|=\frac{1}{2}|(-3)\cdot3-4\cdot4|=\frac{25}{2}=12.5.\]

Ответ: \(\angle B=\angle C\); площадь треугольника равна \(12.5\) кв. ед.