8) Вычислить $\displaystyle\int_{1}^{3}\frac{5x}{1+5x^2}\,dx$; $n=10$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8) Вычислить $\displaystyle\int_{1}^{3}\frac{5x}{1+5x^2}\,dx$; $n=10$.$ Фото задания

Accepted Answer

Производная знаменателя $1+5x^2$ равна $10x$, поэтому

\[\int\frac{5x}{1+5x^2}\,dx=\frac{1}{2}\ln(1+5x^2)+C.\]

Подставим пределы интегрирования:

\[\int_{1}^{3}\frac{5x}{1+5x^2}\,dx=\frac{1}{2}(\ln 46-\ln 6)=\frac{1}{2}\ln\frac{23}{3}.\]

Параметр $n=10$ сам по себе не задаёт способ численного приближения; точное значение интеграла найдено.

Ответ: $\frac{1}{2}\ln\frac{23}{3}$.

8) Вычислить \(\displaystyle\int_{1}^{3}\frac{5x}{1+5x^2}\,dx\); \(n=10\).