8. Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 7. Найдите меньшее основание трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB || CD, BC = AD. Проведём высоту BH из вершины B на большее основание AC. В равнобедренной трапеции высота, проведённая из конца меньшего основания, отсекает на большем основании два отрезка. Один из них равен половине разности оснований, а другой — полусумме оснований (или сумме меньшего основания и половины разности оснований).

Большее основание AC делится высотой BH на отрезки AH и HC. Так как трапеция равнобедренная, то AH = (AC - BD)/2, где BD — меньшее основание. В данной задаче нам дано, что большее основание делится на отрезки длиной 3 и 7. Следовательно, AH = 3 и HC = 7 (или наоборот).

Случай 1: AH = 3, HC = 7

Тогда большее основание AC = AH + HC = 3 + 7 = 10.

Меньшее основание BD = AC - 2 * AH = 10 - 2 * 3 = 10 - 6 = 4.

Случай 2: AH = 7, HC = 3

Тогда большее основание AC = AH + HC = 7 + 3 = 10.

Меньшее основание BD = AC - 2 * AH = 10 - 2 * 7 = 10 - 14 = -4. Это невозможно, так как длина не может быть отрицательной.

Следовательно, верным является первый случай.

Проверим: если меньшее основание равно 4, а большее — 10, то разность оснований равна 10 - 4 = 6. Половина разности оснований равна 6 / 2 = 3. Значит, от большего основания отсекается отрезок длиной 3. Тогда второй отрезок равен 10 - 3 = 7.

Ответ: 4