80. Дано: AB = AD, CB = CD. Доказать: а) луч AC — биссектриса угла BAD; б) BO = OD; в) AC ⟂ BD.

Пусть O — точка пересечения отрезков AC и BD, как на рисунке.

а) Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Имеем AB = AD и CB = CD по условию, а AC — общая сторона. Значит, △ABC = △ADC по трём сторонам. Поэтому ∠BAC = ∠CAD, то есть луч AC — биссектриса угла BAD.

б) Рассмотрим треугольники ABO и ADO. AB = AD по условию, AO — общая сторона, а ∠BAO = ∠OAD, поскольку AC — биссектриса угла BAD. Следовательно, △ABO = △ADO по двум сторонам и углу между ними. Значит, BO = OD.

в) Из равенства треугольников ABC и ADC следует ∠BCA = ∠ACD. Так как O лежит на AC, то ∠BCO = ∠OCD. В треугольниках BCO и DCO: BC = CD, CO — общая сторона, ∠BCO = ∠OCD. Значит, △BCO = △DCO по двум сторонам и углу между ними, поэтому ∠BOC = ∠COD. Эти углы смежные, следовательно, каждый равен 90°. Значит, AC ⟂ BD.