80. Отрезок AB длины a разделён точками P и Q на три отрезка так, что AP = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние между: а) точкой A и серединой отрезка QB; б) серединами отрезков AP и QB.

Пусть PQ = x. По условию AP = 2x и QB = x, поэтому AB = 2x + x + x = 4x, откуда x = a/4.

1. Точка Q находится на расстоянии AP + PQ = 3x = 3a/4 от A. Середина QB отстоит от Q на x/2 = a/8. Искомое расстояние равно 3a/4 + a/8 = 7a/8.
2. Середина AP находится на расстоянии AP/2 = x от A, а середина QB — на расстоянии AP + PQ + QB/2 = 2x + x + x/2 = 7x/2 от A. Расстояние между серединами равно 7x/2 − x = 5x/2 = 5a/8.

Ответ: а) 7a/8; б) 5a/8.