80. Упростить выражение (80–83): 1) $a^{1/9}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}}$; 2) $b^{1/12}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$; 3) $(\sqrt[3]{ab^{-2}}+(ab)^{-1/6})\sqrt[6]{ab^4}$; 4) $(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(a^{2/3}+b^{2/3}-\sqrt[3]{ab})$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 80. Упростить выражение (80–83): 1) $a^{1/9}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}}$; 2) $b^{1/12}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

1) Запишем корни как степени:

$a^{1/9}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}}=a^{1/9}(a\cdot a^{1/3})^{1/6}=a^{1/9+2/9}=a^{1/3}=\sqrt[3]{a}.$

2) $b^{1/12}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}=b^{1/12}(b\cdot b^{1/4})^{1/3}=b^{1/12+5/12}=b^{1/2}=\sqrt b.$

3) Раскроем скобки умножением на $a^{1/6}b^{2/3}$:

$\sqrt[3]{ab^{-2}}\sqrt[6]{ab^4}+(ab)^{-1/6}\sqrt[6]{ab^4}=a^{1/3+1/6}b^{-2/3+2/3}+a^{-1/6+1/6}b^{-1/6+2/3}=\sqrt a+\sqrt b.$

4) Обозначим $x=\sqrt[3]{a}$, $y=\sqrt[3]{b}$. Тогда выражение равно $(x+y)(x^2+y^2-xy)=x^3+y^3=a+b$, поскольку $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$.

Ответ: 1) $\sqrt[3]{a}$; 2) $\sqrt b$; 3) $\sqrt a+\sqrt b$; 4) $a+b$.

80. Упростить выражение (80–83): 1) \(a^{1/9}\sqrt[6]{a\sqrt[3]{a}}\); 2) \(b^{1/12}\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}\); 3) \((\sqrt[3]{ab^{-2}}+(ab)^{-1/6})\sqrt[6]{ab^4}\); 4) \((\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(a^{2/3}+b^{2/3}-\sqrt[3]{ab})\).