808. На рисунке 5.46 построен график функции f(x) = { -1/2 * x + 3, если x ≤ 2; x - 4, если x > 2 }. Стрелка, поставленная на одном из лучей, означает, что точка (2; -2) не принадлежит графику. Ответьте на вопросы: а) Какова область определения функции? б) Чему равно значение функции при x = -1; 0; 1; 2; 3? в) Сколько нулей имеет функция? г) На каких промежутках функция возрастает? убывает? д) На каких промежутках функция положительна? отрицательна?

Давай разберем всё по порядку!

а) Область определения функции

Область определения — это все значения, которые может принимать x. По условию:

• Первый кусочек: x ≤ 2
• Второй кусочек: x > 2

Объединяя эти два условия, мы видим, что x может быть любым действительным числом. График функции также простирается по всей горизонтальной оси.

Ответ: \[(-\infty, \infty)\]

б) Значение функции при заданных x

Чтобы найти значение функции, нужно посмотреть, к какому условию относится x:

• При x = -1: попадает под условие x ≤ 2. Используем первую формулу:f(-1) = -1/2 * (-1) + 3 = 1/2 + 3 = 3.5
• При x = 0: попадает под условие x ≤ 2. Используем первую формулу:f(0) = -1/2 * 0 + 3 = 0 + 3 = 3
• При x = 1: попадает под условие x ≤ 2. Используем первую формулу:f(1) = -1/2 * 1 + 3 = -0.5 + 3 = 2.5
• При x = 2: попадает под условие x ≤ 2. Используем первую формулу:f(2) = -1/2 * 2 + 3 = -1 + 3 = 2
• При x = 3: попадает под условие x > 2. Используем вторую формулу:f(3) = 3 - 4 = -1

Ответ: f(-1) = 3.5; f(0) = 3; f(1) = 2.5; f(2) = 2; f(3) = -1.

в) Сколько нулей имеет функция?

Нули функции — это значения x, при которых f(x) = 0.

1. Для первого кусочка (x ≤ 2):-1/2 * x + 3 = 0 => -1/2 * x = -3 => x = 6. Но это значение x = 6 не попадает под условие x ≤ 2, поэтому здесь нулей нет.

2. Для второго кусочка (x > 2):x - 4 = 0 => x = 4. Это значение x = 4 попадает под условие x > 2, значит, это корень функции.

Ответ: Функция имеет 1 нуль (x = 4).

г) На каких промежутках функция возрастает? убывает?

Нужно посмотреть на коэффициенты при x в каждой формуле:

• Первый кусочек (x ≤ 2): f(x) = -1/2 * x + 3. Коэффициент при x равен -1/2 (отрицательный). Значит, на этом промежутке функция убывает.
• Второй кусочек (x > 2): f(x) = x - 4. Коэффициент при x равен 1 (положительный). Значит, на этом промежутке функция возрастает.

Ответ: Функция убывает на промежутке (-∞; 2] и возрастает на промежутке (2; +∞).

д) На каких промежутках функция положительна? отрицательна?

Функция положительна, когда ее график выше оси Ox (f(x) > 0), и отрицательна, когда график ниже оси Ox (f(x) < 0).

Мы уже нашли, что нуль функции находится при x = 4.

1. Рассмотрим первый кусочек (x ≤ 2):f(x) = -1/2 * x + 3. Эта прямая убывает. При x = 2, f(2) = 2 (положительное значение). Так как функция убывает, то для всех x < 2 значения будут больше, чем 2. Значит, на всем промежутке (-∞; 2] функция положительна.

2. Рассмотрим второй кусочек (x > 2):f(x) = x - 4. Мы знаем, что нуль этой части функции при x = 4. Так как функция возрастает, то:

• При x от 2 до 4 (не включая 4), функция будет отрицательна.
• При x > 4, функция будет положительна.

Ответ:

• Функция положительна на промежутках (-∞; 2] и (4; +∞).
• Функция отрицательна на промежутке (2; 4).