81.6. 1) Перечертите рисунок 214 в тетрадь и постройте: а) точку пересечения прямой MH с плоскостью ABC; б) линию пересечения плоскостей MHB и ADC. 2) Плоскости α и β пересекаются по прямой b. Прямая a лежит в плоскости α и пересекает плоскость β в точке M. Докажите, что точка M лежит на прямой b.

1а) На рисунке точки M и H лежат на рёбрах AD и DB соответственно. Поэтому прямая MH лежит в плоскости ADB. Плоскость ADB пересекает плоскость ABC по прямой AB.

Продлим прямую MH до пересечения с прямой AB. Обозначим точку пересечения через K. Тогда K принадлежит и прямой MH, и плоскости ABC.

Ответ: точка пересечения — K = MH ∩ AB.

1б) Так как H и B лежат на прямой DB, плоскость MHB содержит прямую DB, а значит, и точку D. Точка M лежит на AD, поэтому M принадлежит плоскости ADC. Следовательно, точки D и M являются общими точками плоскостей MHB и ADC.

Общая линия этих плоскостей — прямая DM (она совпадает с частью ребра AD).

Ответ: линия пересечения — DM.

2) По условию плоскости α и β пересекаются по прямой b, то есть α ∩ β = b.

Прямая a лежит в плоскости α, а точка M принадлежит прямой a. Следовательно, M принадлежит плоскости α. По условию прямая a пересекает плоскость β в точке M, поэтому M принадлежит и плоскости β.

Таким образом, M — общая точка плоскостей α и β. Все общие точки двух пересекающихся плоскостей лежат на их линии пересечения b.

Ответ: M ∈ b.