81. Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и отметьте точки M и N соответственно на рёбрах BB₁ и CC₁. Постройте точку пересечения: а) прямой MN с плоскостью ABC; б) прямой AM с плоскостью A₁B₁C₁.

Обозначим через \(M\in BB_1\) и \(N\in CC_1\) заданные точки.

а) Так как плоскость боковой грани \(BCC_1B_1\) пересекает плоскость \(ABC\) по прямой \(BC\), а отрезок \(MN\) параллелен ребру \(BC\), то \(MN\parallel (ABC)\). Следовательно, прямая \(MN\) не пересекает плоскость \(ABC\).

б) Плоскость \(A M\) содержится в грани \(ABB_1A_1\). Её пересечение с плоскостью \(A_1B_1C_1\) лежит на прямой \(A_1B_1\). Продолжим прямую \(AM\) за точку \(M\) до пересечения с \(A_1B_1\). Обозначим точку пересечения через \(K\). Тогда \(K=AM\cap(A_1B_1C_1)\).

Ответ: а) точка пересечения отсутствует, так как \(MN\parallel(ABC)\); б) искомая точка — \(K=AM\cap A_1B_1\).