81. Периметр квадрата равен периметру прямоугольника, причём длина прямоугольника на 2 см больше его ширины. Площадь какой фигуры больше и на сколько, если известно, что сторона квадрата равна 8 см?

Краткая запись:

• Сторона квадрата (a): 8 см
• Периметр квадрата (P_кв) = Периметр прямоугольника (P_пр)
• Длина прямоугольника (b) = Ширина прямоугольника (a_пр) + 2 см
• Найти: Площадь квадрата (S_кв) — ?, Площадь прямоугольника (S_пр) — ?, Какая площадь больше и на сколько?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Вычисляем площадь квадрата (S_кв).
   \( S_{кв} = a^2 \)
   \( S_{кв} = 8 \text{ см}^2 = 64 \text{ см}^2 \).
2. Шаг 2: Вычисляем периметр квадрата (P_кв).
   \( P_{кв} = 4 \cdot a \)
   \( P_{кв} = 4 \cdot 8 \text{ см} = 32 \text{ см} \).
3. Шаг 3: Так как периметр квадрата равен периметру прямоугольника, то \( P_{пр} = 32 \text{ см} \).
   Используем формулу периметра прямоугольника: \( P_{пр} = 2 \cdot (a_{пр} + b) \).
   \( 32 = 2 \cdot (a_{пр} + a_{пр} + 2) \)
   \( 32 = 2 \cdot (2a_{пр} + 2) \)
   \( 32 = 4a_{пр} + 4 \)
   \( 4a_{пр} = 32 - 4 \)
   \( 4a_{пр} = 28 \)
   \( a_{пр} = 28 : 4 = 7 \text{ см} \).
4. Шаг 4: Находим длину прямоугольника (b).
   \( b = a_{пр} + 2 \)
   \( b = 7 \text{ см} + 2 \text{ см} = 9 \text{ см} \).
5. Шаг 5: Вычисляем площадь прямоугольника (S_пр).
   \( S_{пр} = a_{пр} \cdot b \)
   \( S_{пр} = 7 \text{ см} \cdot 9 \text{ см} = 63 \text{ см}^2 \).
6. Шаг 6: Сравниваем площади.
   Площадь квадрата (64 см²) больше площади прямоугольника (63 см²).
   На сколько больше: \( 64 \text{ см}^2 - 63 \text{ см}^2 = 1 \text{ см}^2 \).

Ответ: Площадь квадрата больше площади прямоугольника на 1 см².