81. Указать количество целых чисел \(k\), при которых дробь \(\frac{8k^2+18k+9}{2k+5}\) является также целым числом.

Обозначим знаменатель через \(t=2k+5\). При целом \(k\) число \(t\) — нечётное целое.

Выразим числитель через \(t\):

\(8k^2+18k+9=2(2k+5)^2-11(2k+5)+14=2t^2-11t+14\).

Тогда дробь равна \(2t-11+\frac{14}{t}\). Чтобы она была целой, нужно, чтобы \(t\) делило 14. Нечётные целые делители 14: \(t=1,-1,7,-7\).

Им соответствуют целые значения \(k=\frac{t-5}{2}\): \(-2,-3,1,-6\). Знаменатель при этих значениях не равен нулю.

Ответ: 4.