810* Докажите, что если в четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Дано: Четырёхугольник ABCD, в котором ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

Доказать: Около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

Доказательство:

1. Построение окружности: Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность. Проведём окружность через вершины A, B и D четырёхугольника.
2. Расположение точки C:
• Пусть центр этой окружности — точка O.
• Рассмотрим два случая расположения точки C относительно построенной окружности:
• Случай 1: Точка C лежит вне окружности.
• Случай 2: Точка C лежит внутри окружности.
• Теорема о вписанном угле: Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
• Для дуги AD (не содержащей B), вписанный угол ∠ABD опирается на дугу AD. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен ∠AOD.
• Для дуги AD (содержащей B), вписанный угол ∠ACD (если бы он существовал) опирался бы на ту же дугу.
• Однако, если бы точка C лежала вне окружности, то угол ∠C был бы меньше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу (условно, если бы мы продолжили стороны), что противоречит условию.
• Доказательство от противного:
• Предположим, что точка C не лежит на окружности, проходящей через A, B, D.
• Если C лежит вне окружности, то ∠C < 180° - ∠A (где ∠A - угол, опирающийся на дугу BD, не содержащую A).
• Если C лежит внутри окружности, то ∠C > 180° - ∠A.
• Но по условию задачи ∠C = 180° - ∠A.
• Это возможно только в том случае, если точка C лежит на окружности, проходящей через A, B, D.

Что и требовалось доказать.