810. Докажите, что вершина угла, образованного биссектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.

Пусть в трапеции \(ABCD\) основания \(AB\parallel CD\), а \(AD\) — боковая сторона. Обозначим через \(P\) точку пересечения биссектрис углов \(DAB\) и \(ADC\), прилежащих к стороне \(AD\).

1. Так как \(P\) лежит на биссектрисе угла \(DAB\), расстояния от \(P\) до прямых \(AB\) и \(AD\) равны.
2. Так как \(P\) лежит на биссектрисе угла \(ADC\), расстояния от \(P\) до прямых \(AD\) и \(CD\) равны.
3. Следовательно, расстояния от \(P\) до параллельных прямых \(AB\) и \(CD\) равны. Множество точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, — прямая, параллельная им и проходящая посередине между ними.
4. Средняя линия трапеции также лежит на этой прямой: её концы — середины боковых сторон, поэтому она проходит посередине между основаниями.

Значит, точка \(P\) лежит на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.