815. 1) \(4^{x+\sqrt{x^2-2}}-2{,}5\cdot2^{x+\sqrt{x^2-2}}-6=0\); 2) \(9^x+12^x=16^x\); 3) \(\sqrt[x]{9}+\sqrt[x]{6}-\sqrt[x]{4}=0\).

1) Область определения: \(x^2-2\ge 0\). Обозначим \(t=2^{x+\sqrt{x^2-2}}\), где \(t>0\). Тогда \(t^2-2{,}5t-6=0\), откуда \((t-4)(t+1{,}5)=0\). С учётом \(t>0\), получаем \(t=4\), то есть \(x+\sqrt{x^2-2}=2\). Если \(x\le-\sqrt2\), левая часть меньше нуля, поэтому это невозможно. Если \(x\ge\sqrt2\), возведение в квадрат после записи \(\sqrt{x^2-2}=2-x\) даёт \(x=1{,}5\), но это не принадлежит области определения \(x\ge\sqrt2\). Следовательно, решений нет.

2) Разделим равенство на \(16^x\): \(\left(\frac34\right)^{2x}+\left(\frac34\right)^x=1\). Обозначим \(y=\left(\frac34\right)^x>0\). Тогда \(y^2+y-1=0\), поэтому \(y=\frac{\sqrt5-1}{2}\) (второй корень отрицателен и не подходит). Следовательно, \(\left(\frac34\right)^x=\frac{\sqrt5-1}{2}\), откуда \(x=\frac{\ln\left(\frac{\sqrt5-1}{2}\right)}{\ln\left(\frac34\right)}\).

3) Область определения: \(x\ne0\). Положим \(t=\frac1x\). Уравнение принимает вид \(9^t+6^t=4^t\). При \(t>0\) левая часть больше \(4^t\), поэтому решений нет. При \(t<0\), после деления на \(4^t\), получаем \(\left(\frac94\right)^t+\left(\frac32\right)^t=1\). Левая часть строго возрастает по \(t\), а при \(t\to-\infty\) стремится к нулю и при \(t\to0^-\) стремится к 2. Поэтому уравнение имеет ровно один корень \(t_0<0\), и решение исходного уравнения — \(x=1/t_0\). Численно \(t_0\approx-0{,}774\), поэтому \(x\approx-1{,}292\).