816. Угол АОВ развёрнутый, а ОС — луч. Найдите градусные меры углов АОС и СОВ, если: а) градусная мера угла АОС втрое больше, чем градусная мера угла СОВ; б) градусная мера угла АОС на 60° больше градусной меры угла СОВ; в) градусная мера угла АОС в 4 раза меньше, чем градусная мера угла СОВ.

Решение:

Развёрнутый угол АОВ имеет градусную меру \( 180^{\circ} \). Так как ОС — луч, то \( \angle AOC + \angle COB = \angle AOB = 180^{\circ} \).

а) \( \angle AOC = 3 \angle COB \)

1. Обозначим \( \angle COB = x \). Тогда \( \angle AOC = 3x \).
2. Составим уравнение: \( 3x + x = 180^{\circ} \)
3. Решим уравнение: \( 4x = 180^{\circ} \) \( x = \frac{180^{\circ}}{4} = 45^{\circ} \)
4. Найдем меры углов: \( \angle COB = 45^{\circ} \), \( \angle AOC = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ} \).

б) \( \angle AOC = \angle COB + 60^{\circ} \)

1. Обозначим \( \angle COB = x \). Тогда \( \angle AOC = x + 60^{\circ} \).
2. Составим уравнение: \( (x + 60^{\circ}) + x = 180^{\circ} \)
3. Решим уравнение: \( 2x + 60^{\circ} = 180^{\circ} \) \( 2x = 180^{\circ} - 60^{\circ} \) \( 2x = 120^{\circ} \) \( x = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \)
4. Найдем меры углов: \( \angle COB = 60^{\circ} \), \( \angle AOC = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} \).

в) \( \angle AOC = \frac{1}{4} \angle COB \)

1. Обозначим \( \angle COB = x \). Тогда \( \angle AOC = \frac{1}{4}x \).
2. Составим уравнение: \( \frac{1}{4}x + x = 180^{\circ} \)
3. Решим уравнение: \( \frac{5}{4}x = 180^{\circ} \) \( x = 180^{\circ} \cdot \frac{4}{5} = 36^{\circ} \cdot 4 = 144^{\circ} \)
4. Найдем меры углов: \( \angle COB = 144^{\circ} \), \( \angle AOC = \frac{1}{4} \cdot 144^{\circ} = 36^{\circ} \).

Ответ: а) \( \angle AOC = 135^{\circ} \), \( \angle COB = 45^{\circ} \); б) \( \angle AOC = 120^{\circ} \), \( \angle COB = 60^{\circ} \); в) \( \angle AOC = 36^{\circ} \), \( \angle COB = 144^{\circ} \).