82.3. 1) На рисунке 217 точки M, N, P и K — середины соответственно отрезков AD, DC, AB и BC. Найдите периметр четырёхугольника MNKP, если AC = 8 см, BD = 10 см. 2) Точка M не лежит в плоскости треугольника ABC, K — середина отрезка MB. Каково взаимное расположение прямых MA и CK? Ответ обоснуйте.

1) В треугольнике ADC точки M и N — середины сторон AD и DC, поэтому MN — средняя линия: MN = AC/2 = 4 см. В треугольнике ABC точки K и P — середины BC и BA, поэтому KP — средняя линия: KP = AC/2 = 4 см.

В треугольнике DAB отрезок MP соединяет середины AD и AB, значит MP = BD/2 = 5 см. В треугольнике DCB отрезок NK соединяет середины DC и CB, значит NK = BD/2 = 5 см.

Периметр MNKP равен 4 + 5 + 4 + 5 = 18 см.

2) Прямая MA лежит в плоскости MAB. Прямая CK пересекает эту плоскость только в точке K: точка C вне плоскости MAB, поскольку M не лежит в плоскости ABC, а K лежит на MB. При этом K не принадлежит MA. Следовательно, прямые MA и CK не пересекаются и не лежат в одной плоскости — они скрещивающиеся.

Ответ: 1) 18 см; 2) прямые MA и CK скрещиваются.