82.4. 1) На рисунке 218 точка A — середина отрезка PK, AB ∥ CD, BC ∥ AD, BC ∥ PM, CD ∥ HK. Найдите PM и HK, если CD = 16 дм, BC = 8 дм. 2) Точка M не лежит в плоскости четырёхугольника ABCD, K — середина отрезка MA. Каково взаимное расположение прямых DK и MB? Ответ обоснуйте.

1) Так как AB ∥ CD и BC ∥ AD, четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Поэтому AD = BC = 8 дм.

В треугольнике PKM точка A — середина PK, а AD ∥ PM (поскольку AD ∥ BC и BC ∥ PM). По обратной теореме о средней линии треугольника D — середина MK, а AD = PM/2. Значит, PM = 2 · 8 = 16 дм.

Поскольку D — середина MK и CD ∥ HK, прямая CD в треугольнике MHK является средней линией. Следовательно, CD = HK/2, откуда HK = 2 · 16 = 32 дм.

2) Прямая MB лежит в плоскости MAB. Точка D не принадлежит этой плоскости: пересечение плоскостей ABCD и MAB — прямая AB, а D не лежит на AB. Поэтому прямая DK пересекает плоскость MAB только в точке K. Точка K не лежит на MB, поскольку K находится на MA, а A не лежит на MB. Следовательно, DK и MB не пересекаются и не являются компланарными: это скрещивающиеся прямые.

Ответ: 1) PM = 16 дм, HK = 32 дм; 2) прямые DK и MB скрещиваются.